- 其中很多公式，是哈代研究了十几年都没有解决的难题；
- 还有一些公式，是欧洲数学界从未发现过的全新成果。
哈代立刻找来自己的合作伙伴，另一位顶尖数学家利特尔伍德，两人一起研究这些公式。经过一夜的推演，他们得出了一个震惊的结论：这些公式全都是对的，写信的人，是一个数学天才，甚至是有史以来最伟大的数学天才之一。
哈代后来回忆：“我一生最浪漫、最重要的事件，就是发现了拉马努金。这些公式一定是正确的，因为如果它们是错误的，没有人有如此的想象力去编造它们。”
利特尔伍德则感叹：“ every positive integer was his personal friend（每一个正整数都是他的私人朋友）。”
2.2 跨越山海的奔赴：种姓、信仰与剑桥的邀约
哈代立刻给拉马努金回信，邀请他立刻来剑桥大学合作研究。但拉马努金的赴英之路，充满了波折。
首先是种姓与信仰的阻碍。拉马努金是婆罗门，按照传统，婆罗门不能漂洋过海，否则会失去种姓身份。他的母亲坚决反对，认为出海会亵渎神灵。拉马努金陷入了痛苦的抉择：一边是一生的信仰，一边是数学的梦想。
他向纳马吉里女神祈祷，希望得到神的指引。几天后，他的母亲做了一个梦：女神在梦中告诉她，让拉马努金去英国，完成他的使命。母亲终于松口，同意他前往剑桥。
其次是经费问题。拉马努金家境贫困，没有路费。哈代通过剑桥大学和印度政府，为他申请了奖学金和路费，解决了他的后顾之忧。
1914年4月17日，拉马努金登上了前往英国的轮船。他告别了妻子、家人，告别了故土，带着三本笔记本，踏上了前往世界数学中心的旅程。此时的他，27岁，即将迎来人生的巅峰。
2.3 剑桥岁月：文化冲突、素食困境与学术爆发
1914年4月，拉马努金抵达剑桥大学三一学院。哈代亲自迎接他，为他安排了住宿、学习和研究的条件。但剑桥的生活，对拉马努金而言，是一场巨大的文化冲击。
- 饮食冲突：拉马努金是严格的素食者，剑桥的食堂全是肉食，他只能自己做饭，吃米饭、蔬菜、水果。一战爆发后，英国物资匮乏，蔬菜供应紧张，他常常吃不饱，营养不良成为常态。
- 语言与社交：他的英语不好，不擅长社交，沉默寡言，除了哈代和利特尔伍德，几乎没有朋友。他不适应西方的生活方式，依旧保持着印度的祈祷、冥想习惯。
- 学术思维冲突：哈代追求严谨的证明，拉马努金依赖直觉。哈代要求他为每一个公式写出证明，拉马努金却觉得“证明是多余的，公式本身就是真理”。两人常常为此争论，但最终达成了完美的互补。
尽管生活困顿，拉马努金的学术创造力却迎来了爆发期。在剑桥的5年里，他与哈代合作发表了29篇顶尖学术论文，单独发表了7篇，解决了无数数学难题，成为剑桥数学界的传奇。
2.4 整数分拆函数：世纪难题的终极破解
拉马努金与哈代最伟大的合作成果，是整数分拆问题。
整数分拆，是数论的经典难题：给定一个正整数n，将其拆分为若干正整数的和，有多少种不同的分拆方法？
比如n=4，分拆方法有5种：4、3+1、2+2、2+1+1、1+1+1+1。
这个问题看似简单，却困扰了数学界数百年。当n很大时，枚举法完全失效，数学家们一直寻找一个渐近公式，能快速计算出分拆数的近似值。
拉马努金凭借自己的直觉，与哈代的严谨逻辑结合，创造了**“圆法”**，推导出了整数分拆数的渐近公式。这个公式的误差小于1，对任何大整数n都成立，彻底解决了整数分拆难题。
这一成果，成为解析数论的里程碑，至今仍在数学、计算机科学、密码学中广泛应用。
2.5 拉马努金的数学天赋：哈代的天才评分
哈代一生评价过无数数学家，他制定了一个天才评分标准，满分为100分：
- 自己：25分
- 利特尔伍德：30分
- 希尔伯特：80分
- 拉马努金：100分
哈代说：“拉马努金是我见过的最完美的数学天才，他的直觉超越了所有时代的数学家。我和他合作，不是我指导他，而是我们互相成就。”
拉马努金的天赋，体现在对数字的极致敏感。最着名的例子，就是1729，哈代出租车数。
1919年，拉马努金住院，哈代乘出租车去看他，车牌号是1729。哈代说：“这个数字真无趣。”拉马努金立刻回答：“不，哈代，1729是最小的能以两种不同方式表示为两个正整数立方和的数：1729=13+123=93+103。